Soit un singe sur une machine à écrire

Les Simpson : dans un épisode, Charles Montgomery Burns a dans sa propre chambre 1000 singes devant des machines à écrire, dont un est châtié pour avoir fait une faute sur un mot de la première phrase du livre A Tale of Two Cities « It was the best of times, it was the blurst of times. »), (au lieu de « It was the best of times, it was the worst of times » ce qui signifie « c'était le meilleur des temps, c'était le pire des temps ») ;

D'où vient cette référence ?

Considérons un singe qui écrit au hasard sur un clavier. Un "paradoxe" bien connu de la théorie des probabilités dit en gros, que le singe écrira à coup sûr Hamlet, tôt ou tard. Ça vient de là.

J'ai tenté de démontrer formellement un résultat plus général que ce "paradoxe" bien connu, qui est que : tout événement du type "le singe écrit ceci" (pour tout texte dénombrable, fini ou non) a une probabilité 0 ou 1.
Ci-dessous, la preuve; vous n'êtes pas obligés de la lire, surtout si comme moi, vous ne comprenez rien aux probabilités.

* Preuve:
Posons les variables aléatoires :
Xk="la kième lettre que tape le singe", qui sont à valeurs dans un ensemble fini de caractères (ceux qu'il a sur sa machine à écrire)

Pour montrer que tout événement du type W="le singe écrit ceci" (pour simplifier, j'ai pris "le singe écrit "banane"" ici) est dans toute tribu Ak (tribu engendrée par les variables aléatoires Xn pour n supérieur ou égal à k), on écrit que

W = l'union pour i supérieur ou égal à k de
l'intersection pour j de 0 à 5
de X(i+j)^(-1) {mj}

où m0=b, ... , m5=e.

(j'ai écrit le fait que "banane" puisse être écrit dans tout bloc de 5 caractères consécutifs)

Ce qui appartient manifestement à Ak.

On peut refaire la même chose pour tout texte, même infini dénombrable (on sera juste ramenés à une intersection infinie dénombrable, ce qui au final signifie que le singe écrira à partir d'un certain rang, exactement ce qu'on voudra et pour toujours, ce qui me paraît tout de même hautement improbable, cf mon impression plus loin).
Et ce pour tout k.
Donc tout ce que peut écrire le singe est dans la tribu asymptotique (l'intersection des Ak), donc a une probabilité 0 ou 1, en vertu de la loi 0-1 de Kolmogorov (qui, pour les non initiés, dit que tout événement là dedans a une probabilité 0 ou 1...)

Venons en aux choses sérieuses :

On ne peut apparemment pas savoir si c'est 0 ou 1, pour un texte donné. Mais on peut par exemple montrer à la main que pour "banane", c'est bien sûr 1.
En fait, j'ai l'impression que pour un texte donné fini, la proba est 1, mais pour un texte infini, c'est 0.
Edit: en fait c'est faux, apparemment, c'est toujours 1.

Donc voilà : un singe qui écrit au hasard sur un clavier pour l'éternité écrira tous les livres jamais écrit dans l'histoire, en particulier Hamlet. Mais il n'écrira jamais uniquement des "a".

Pas con, le singe.


Si maintenant on se met dans la peau du physicien, et qu'on réfléchit au temps, on peut illustrer tout ça par cette jolie citation

« Si le singe pouvait taper sur son clavier une touche par nanoseconde, alors la durée d'attente pour que le singe dactylographie complètement Hamlet serait si longue que l’âge estimé de l’univers paraîtrait insignifiant par comparaison… et ce n'est pas une bonne méthode pour écrire les pièces de théâtre. »
C'est de Gian-Carlo Rota.

Bref, pas con, mais lent, le singe.

Pour la petite histoire, des chercheurs p...assent leur temps à faire ça sérieusement, avec un vrai générateur d'aléatoire, et je cite :

Le site « le simulateur de singe shakespearien », commencé le 1er juillet 2003, contient une appliquette qui simule une grande population de singes dactylographiant aléatoirement, dans l'intention de voir combien de temps il faut à ces singes virtuels pour produire une pièce complète de Shakespeare du début jusqu'à la fin. Le 3 janvier 2005, le programme a obtenu 24 lettres consécutives, quatre mots ont été enregistrés (« RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d "B-nEoF.vjSqj[...» de Henry VI, part 2).

Impressionnant, tout de même.

Idée : faire travailler ces singes et attendre une preuve de l'hypothèse de Riemann, de sa négation, ou de son indécidabilité. Pareil avec Goldbach


Dans la réalité pratique, il y a eu des expériences sur ça, et il y a même eu des gens assez ...motivés, pour gagner un prix IgNobel :

"En 2003, des scientifiques de l'université de Plymouth, auraient effectué une expérience avec des singes au zoo de Paignton à Devon en Angleterre : laisser pendant un mois un clavier d'ordinateur dans la clôture qui parquait six macaques à crête de Sulawesi. À la fin ils constatèrent que les singes n'avaient produit que cinq pages ne contenant que quelques lettres longuement répétées, et ils rapportèrent que les singes avaient commencé par attaquer le clavier avec une pierre, et avaient ensuite uriné et déféqué dessus (voir aussi Prix Ig Nobel)."

Bref, tout de même con, le singe.