Proofs from THE BOOK

Montrons que les nombres premiers sont en nombre infini.
Euclide avait déjà donné une preuve sympa il y a fort longtemps.
Voici une preuve folklorique utilisant la théorie des groupes, découverte dans "Proofs from THE BOOK" de Aigner et Ziegler, livre inspiré par une idée de Erdos, qui pensait qu'un livre divin contenait toutes les preuves les plus belles de résultats connus.

Supposons que l'ensemble des nombres premiers \mathbb{P} est de cardinal fini. Notons alors p son plus grand élément.
Considérons 2^p-1 (appelé nombre de Mersenne).
Soit q un nombre premier qui divise 2^p-1. Ainsi, on a 2^p=1 \ mod. \ q.
Comme p est premier, cela signifie que 2 est d'ordre p dans le groupe multiplicatif \frac{\mathbb{Z}}{q\mathbb{Z}}\smallsetminus \lbrace 0 \rbrace du corps \frac{\mathbb{Z}}{q\mathbb{Z}}.

Ce groupe étant de cardinal q-1, le théorème de Lagrange nous donne que p divise q-1. Donc p \leq q-1, ce qui contredit la définition de p.